Wartości własne macierzy trójkątnych
Niech \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) będzie macierzą trójkątną górną:
\( A=\left(\begin{array}[c]{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\0 & a_{22} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{nn} \end{array}\right). \)
Wówczas
\( \varphi_A(\lambda) =\det(A-\lambda I)=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22}-\lambda & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{nn}-\lambda\end{array}\right\vert= \\ \hspace{1cm} =\left( a_{11}-\lambda\right) \cdot\ldots\cdot\left(a_{nn}-\lambda\right). \)
Oznacza to, że pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy trójkątnej (to samo rozumowanie można powtórzyć dla dowolnej macierzy trójkątnej dolnej) są elementy stojące na jej głównej przekątnej. Wynika stąd następujący wniosek.
Wniosek 1: Wartości własne macierzy trójkątnych
Wartościami własnymi macierzy trójkątnej są elementy stojące na jej głównej przekątnej.